Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=

3

，AD=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅱ）試問當(dāng)點E在BC的何處時，有EF∥平面PAC；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：（I）由PA⊥平面ABCD，可證AB⊥PA，又AB⊥AD，可證AB⊥平面PAD，求出棱錐的底面面積與高，代入體積公式計算；
（II）當(dāng)點E是BC的中點時，EF∥PC，再由線線平行證明線面平行；
（III）利用線線垂直證明AF⊥平面PBC．

解答：解（I）∵PA⊥平面ABCD且AC，AB，BC?平面ABCD，

∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC
∴Rt△PAD中，PA=

3

，AD=1
∴S△PAD=

1

2

×AD×PA=

3

2

又四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥AB
又AD和PA是面PAD上兩相交直線
∴AB⊥平面PAD，又AD∥BC，∴AB就是三棱錐E-PAD的高．
∴VE-PAD=

1

3

×S△PAD×AB=

1

3

×

3

2

×

3

=

1

2

；
（ II）當(dāng)點E是BC的中點時，有EF∥平面PAC，證明如下：
連結(jié)AC，EF
∵點E、F分別是邊BC、PB的中點
∴△PBC中，EF∥PC，
又EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴當(dāng)點E是BC的中點時，EF∥平面PAC，
（III）∵PA⊥AB，PA=AB=

3

，點F是PB的中點
∴等腰△PAB中，AF⊥PB
又PA⊥BC，AB⊥BC且PA和AB是平面PAB上兩相交直線
∴BC⊥平面PAB，又AF?平面PAB，
∴AF⊥BC
又PB和BC是平面PBC上兩相交直線
∴AF⊥平面PBC，又PE?平面PBC，∴AF⊥PE
∴無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF成立．

點評：本題考查了線面平行的證明，線面垂直的證明，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力，關(guān)鍵是要熟練掌握定理的條件．