Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，其在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解，注意要對(duì)a進(jìn)行討論．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2^x，為增函數(shù)，滿足在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$，f′（x）=2^xln2+$\frac{aln2}{{2}^{x}}$，
若f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，
即2^xln2+$\frac{aln2}{{2}^{x}}$≥0，即a≥-（2^x）²=-4^x，
∵0≤x≤1，∴1≤4^x≤4，-4≤-4^x≤-1，
則a≥-1，則-1≤a＜0，
當(dāng)a＞0時(shí)，y=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$為增函數(shù)，
由y=2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$=0得（2^x）²=2^2x=a，
則2x=log₂a，即x=$\frac{1}{2}$log₂a，
即f（x）=|2^x-$\frac{a}{{2}^{x}}$|，在（-∞，$\frac{1}{2}$log₂a]為減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$log₂a，+∞）上為增函數(shù)
若f（x）區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則$\frac{1}{2}$log₂a≤0，即log₂a≤0，即0＜a≤1，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]，
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．