Question

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與分別交于，

    （1）寫出的平面直角坐標系方程和的普通方程；

    （2）若、、成等比數(shù)列，求的值.

Answer 1

（1）(a＞0)，x－y+2＝0；（2）1.

【命題立意】考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，中等題.

【解析】(1)曲線C的直角坐標方程為(a＞0)；

直線l的普通方程為x－y+2＝0．

(2)將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立，得

t²－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0  (*)

△＝8a(4＋a)＞0．

設點M，N分別對應參數(shù)t₁，t₂，恰為上述方程的根．

則|PM|＝|t₁|，|PN|＝|t₂|，|MN|＝|t₁－t₂|．

由題設得(t₁－t₂)²＝|t₁t₂|，即(t₁＋t₂)²－4t₁t₂＝|t₁t₂|．

由(*)得t₁＋t₂＝2(4＋a)，t₁t₂＝8(4＋a)＞0，則有

(4＋a)²－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因為a＞0，所以a＝1．