【題目】已知橢圓:上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，試探究直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由．

【答案】（1）； （2）過定點(diǎn)，.

【解析】

（1）和直接計(jì)算即可.(2) 若直線斜率存在且不為0．設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出，同理，求出直線的方程為過定點(diǎn)；

當(dāng)直線斜率不存在或?yàn)?/span>0時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)．

解：（1）由題意知，所以．

又，知．

所以，所以．

故橢圓的方程為．

（2）若直線斜率存在且不為0．設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得，

顯然，設(shè)，坐標(biāo)分別為，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，，

即．

同理可得，，

．

直線的方程為，

整理得．

當(dāng)直線斜率不存在或?yàn)?/span>0時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)．

綜上，直線過定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的準(zhǔn)線為，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是拋物線C上橫坐標(biāo)為的一點(diǎn)，若點(diǎn)B到的距離等于．

(1)求拋物線C的方程，

(2)設(shè)A是拋物線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線AO交直線于點(diǎn)M，拋物線C在點(diǎn)A處的切線m交直線于點(diǎn)N，求證：以點(diǎn)N為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

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【題目】在一個(gè)半徑為2的鋼球內(nèi)放置一個(gè)用來盛特殊液體的正四棱柱容器，要使該容器所盛液體盡可能多，則該容器的高應(yīng)為_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折疊，使得平面平面，又平面.

（1）若，求直線與直線所成的角；

（2）若二面角的大小為，求的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知長(zhǎng)為3的線段的兩端點(diǎn)，分別在軸和軸上移動(dòng)，.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程.

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與軌跡交于，和，，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，試探究直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】華為手機(jī)作為華為公司三大核心業(yè)務(wù)之一，2018年的銷售量躍居全球第二名．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了100名華為手機(jī)的顧客進(jìn)行調(diào)查，并將這100人的手機(jī)價(jià)格按照，，…，分成7組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）若是的2倍，求，的值；

（2）求這100名顧客手機(jī)價(jià)格的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表，精確到個(gè)位）；

（3）利用分層抽樣的方式從手機(jī)價(jià)格在和的顧客中選取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行回訪，求抽取的2人手機(jī)價(jià)格在不同區(qū)間的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),其中

（1）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在最小值,求證:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校高一、高二年級(jí)的全體學(xué)生都參加了體質(zhì)健康測(cè)試，測(cè)試成績(jī)滿分為100分，規(guī)定測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>之間為“體質(zhì)優(yōu)秀”，在之間為“體質(zhì)良好”，在之間為“體質(zhì)合格”，在之間為“體質(zhì)不合格”.現(xiàn)從這兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取7名學(xué)生，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/span>

其中m，n是正整數(shù).

（Ⅰ）若該校高一年級(jí)有280學(xué)生，試估計(jì)高一年級(jí)“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)；

（Ⅱ）若從高一年級(jí)抽取的7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記X為抽取的2人中為“體質(zhì)良好”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）設(shè)兩個(gè)年級(jí)被抽取學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)相等，當(dāng)高二年級(jí)被抽取學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的方差最小時(shí)，寫出m，n的值.（只需寫出結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，直線，圓的方程為，直線被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經(jīng)過點(diǎn)且斜率為直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，請(qǐng)問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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