【題目】已知函數(shù),其中

（1）當時,求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在最小值,求證:.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入函數(shù),對函數(shù)求導,將代入導函數(shù)求斜率,將代入原函數(shù)求切點,最后用點斜式求曲線在點處的切線方程；

（2）先求導得,討論當時,恒成立,則在單調遞增,無最小值.當時,令得或（舍）

分別討論時和 時的單調性,得出所以存在最小值,.再對新函數(shù)求導,根據(jù)單調性即可得出最大值為,則得證.

解：（1）時,

切線斜率

曲線在點處的切線方程為：

即：

（2）

①當時,恒成立

在單調遞增,無最小值

②當時,由得或（舍）

時,,在單調遞減

時,,在單調遞增

所以存在最小值,

下面證明.

設函數(shù)

由得,易知在單調遞增,在單調遞減

所以的最大值為

所以恒成立,得證.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象上所有的點（ ）

A.向左平移個單位長度，縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變

B.向左平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的3倍橫坐標不變

C.向右平移個單位長度，縱坐標縮短到原來的，橫坐標不變

D.向右平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變

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【題目】在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.已知：數(shù)列的前項和為，且，　 　.求：對大于1的自然數(shù)，是否存在大于2的自然數(shù)，使得，，成等比數(shù)列.若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.

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【題目】已知橢圓:上任意一點到兩個焦點的距離和為4，且離心率為．

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（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設中點為，中點為，試探究直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由．

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【題目】當時,若函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點,則正實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點，且交橢圓于點的直線，滿足.若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

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【題目】為了調查某款電視機的壽命，研究人員對該款電視機進行了相應的測試，將得到的數(shù)據(jù)分組：，，，，，并統(tǒng)計如圖所示：

并對不同性別的市民對這款電視機的購買意愿作出調查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

愿意購買該款電視機

不愿意購買該款電視機

總計

男性

800

1000

女性

600

總計

1200

（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計該款電視機的平均壽命；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否愿意購買該款電視機”與“市民的性別”有關；

（3）以頻率估計概率，若在該款電視機的生產(chǎn)線上隨機抽取4臺，記其中壽命不低于4年的電視機的臺數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠的,,三個不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質檢人員用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進行檢測:

車間

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自,,各車間產(chǎn)品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件進行進一步檢測,求這2件產(chǎn)品來自相同車間的概率.

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【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求的值.

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