Question

14．已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)），直線l的方程是x+y-a=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C與直線l的極坐標(biāo)方程以及圓心C的極坐標(biāo)；
（2）已知圓C和直線l相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB是等邊三角形，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）把圓C的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標(biāo)方程，
把直線l的普通方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）利用圓C和直線l的普通方程聯(lián)立，消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出|AB|、|OA|，
由△AOB是等邊三角形，得|AB|=|OA|，求出a的值．

解答 解：（1）把圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosφ}\\{y=1+\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）
化為普通方程是（x-1）²+（y-1）²=2，
再化為極坐標(biāo)方程是（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-1）²=2，
即ρ=0（舍去），ρ=2sinθ+2cosθ；
圓心坐標(biāo)是（1，1），
圓心的極坐標(biāo)是（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
把直線l的方程x+y-a=0化為極坐標(biāo)方程是
ρcosθ+ρsin-a=0，
即ρ=$\frac{a}{sinθ+cosθ}$；
（2）圓C：（x-1）²+（y-1）²=2，和直線l：x+y-a=0相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-a=0}\\{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}=2}\end{array}\right.$，
消去y，得2x²-2ax+a²-2a=0；
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-2a}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-4×\frac{{a}^{2}-2a}{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{4a{-a}^{2}}$，
由${{（x}_{1}-1）}^{2}$+${{（y}_{1}-1）}^{2}$=2，
得${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=2（x₁+y₁），
又x₁+y₁-a=0，
∴|OA|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2{（x}_{1}{+y}_{1}）}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{a}$；
又△AOB是等邊三角形，∴|AB|=|OA|，
即$\sqrt{2}$•$\sqrt{4a{-a}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{a}$，
解得a=0（不合題意，舍去）或a=3；
∴實(shí)數(shù)a的值為3．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，也考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．