Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin²（ωx）（ω＞0）關于點（$\frac{π}{12}，1$）對稱
（Ⅰ）求m的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，最大內(nèi)角A的值為f（x）的最小正周期，若b=2，△ABC面積的取值范圍為[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]，求角A的值及a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積，結合f（x）關于點（$\frac{π}{12}$，1）對稱，得$\frac{m}{2}=1$，即m=2，從而可得f（x）的最小值；
（Ⅱ）f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{12}，1$）對稱，有$\frac{2ωπ}{12}-θ=kπ（k∈Z）$，求得ω=6k+$\frac{3}{2}$，又A為f（x）的最小正周期，得$A=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}$．結合A為△ABC的最大內(nèi)角，得$\frac{π}{3}≤A＜π$，即$\frac{π}{3}≤\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}＜π$．求解該不等式求得A=$\frac{2π}{3}$．由△ABC面積的取值范圍求得c的范圍．再由余弦定理用c表示a，則a的取值范圍可求．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（ωx）cos（ωx）+msin²（ωx）
=sin（2ωx）+$\frac{m}{2}[-cos（2ωx）+1]$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4}}{2}sin（2ωx-θ）+\frac{m}{2}$．
∵f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{12}，1$）對稱，則m=2，
∴f（x）的最小值為$-\frac{\sqrt{{m}^{2}+4}}{2}+\frac{m}{2}=-\sqrt{2}+1$；
（Ⅱ）f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{12}，1$）對稱，有$\frac{2ωπ}{12}-θ=kπ（k∈Z）$，
則ω=6k+$\frac{3}{2}$，又A為f（x）的最小正周期，則$A=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}$．
又A為△ABC的最大內(nèi)角，則$\frac{π}{3}≤A＜π$，即$\frac{π}{3}≤\frac{π}{6k+\frac{3}{2}}＜π$．
得$-\frac{1}{12}＜k≤\frac{1}{4}$，故k=0時，此時A=$\frac{2π}{3}$．
∵${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}c∈$[$\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}$]，∴1≤c≤2．
又a²=c²+4+2c∈[7，12]，
∴a∈[$\sqrt{7}，2\sqrt{3}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．