Question

13．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$-（a-1）lnx．
（1）討論f（x）在[1，e]上得單調(diào)性；
（2）已知g（x）=f（x）-x在[1，e]上單調(diào)遞減，討論f（x）在[1，e]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷f′（x）的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（x-a）（x+1）}{{x}^{2}}$，
a≤1時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]遞增；
1＜a＜e時(shí)，若x∈[1，a]，則f′（x）≤0，若x∈（a，e]，則f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，a]遞減，在（a，e]遞增；
a≥e時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]遞減；
（2）∵g（x）=f（x）-x在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴g′（x）=f′（x）-1=$\frac{（1-a）x-a}{{x}^{2}}$≤0在[1，e]上恒成立，
即x∈[1，e]時(shí)，a≥1-$\frac{1}{x+1}$恒成立，
而函數(shù)y=1-$\frac{1}{x+1}$在[1，e]遞增，故a≥1-$\frac{1}{e+1}$，
當(dāng)1-$\frac{1}{e+1}$≤a≤1時(shí)，由（1）得f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=1+a＞0，
∴f（x）在[1，e]上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，由（1）得f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（a）=1+a-（a-1）lna＞a+1-（a-1）=2＞0，
∴f（x）在[1，e]上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)a≥e時(shí)，由（1）得f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=e+$\frac{a}{e}$-（a-1），
若e≤a＜$\frac{e（e+1）}{e-1}$，則f（x）_min=f（e）＞0，
∴f（x）在[1，e]上無(wú)零點(diǎn)；
若a≥$\frac{e（e+1）}{e-1}$，則f（x）_min=f（e）≤0，f（x）_max=f（1）=1+a＞0，
∴f（x）在[1，e]上有1個(gè)零點(diǎn)；
綜上：a≥$\frac{e（e+1）}{e-1}$時(shí)，f（x）在[1，e]上有1個(gè)零點(diǎn)；
1-$\frac{1}{e+1}$≤a＜$\frac{e（e+1）}{e-1}$時(shí)，f（x）在[1，e]上無(wú)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．