Question

設0＜a＜1，函數f(x)=loga

x+1

x-1

．
（1）求函數f（x）定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（3）當f（x）＞0時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的解析式可得

x+1

x-1

＞0，解此分式不等式求得函數的定義域．
（2）由于函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數f（x）為奇函數．
（3）由題意可得

x+1 x-1 ＞0 x+1 x-1 ＜1

，即

(x+1)(x-1)＞0 2 x-1 ＜0

，解不等式組求的x的取值范圍．

解答：解：（1）由函數f（x）的解析式可得

x+1

x-1

＞0，即（x+1）（x-1）＞0，解得 x＜-1，或＜x＞1，
故函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）由于f(x)=loga

x+1

x-1

的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），關于原點對稱，
且滿足f（-x）=loga

1-x

-x-1

=loga

x-1

x+1

=-loga

x+1

x-1

=-f（x），
故函數f（x）為奇函數．
（3）當f（x）＞0時，∵0＜a＜1，∴

x+1 x-1 ＞0 x+1 x-1 ＜1

，即

(x+1)(x-1)＞0 2 x-1 ＜0

，
解得 x＜-1，故x的取值范圍（-∞，-1）．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，函數的奇偶性的定義和判斷方法，分式不等式的解法，屬于中檔題．