Question

小王和小李既是同學(xué)，又是鄰居，在每一個(gè)月里，他們總是相約到一家小鋪里去買(mǎi)若干次白糖。假設(shè)白糖的價(jià)格是變化的，而他們的購(gòu)買(mǎi)方式又不一樣。小王每一次總是買(mǎi)1千克白糖，小李每一次只拿1元錢(qián)來(lái)買(mǎi)白糖，而不管多少。試問(wèn)：這兩種買(mǎi)糖的方式哪一種比較合算？并說(shuō)明理由。

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)小王、小李一共買(mǎi)了n次（n∈N，n>1）白糖，且每次白糖的價(jià)格分別為a1，a2，…an（元/千克）。 小王每一次買(mǎi)1千克白糖，共花去a1+a2+…+an元，共買(mǎi)得n千克白糖，因此，小王平均每千克白糖的價(jià)格為x=。 小李每次只用1元錢(qián)買(mǎi)白糖，共花了n元，每次買(mǎi)得的白糖分別為，，…，。因此，小李平均每千克的白糖價(jià)格為y=。 從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)平均數(shù)x，y的大小。 比較大小是一個(gè)探索性問(wèn)題，不妨對(duì)n取一些特殊值進(jìn)行試驗(yàn)： 當(dāng)n=1時(shí)，x=y； 當(dāng)n=2時(shí)，y= 于是猜想x≥y，即 ≥。 下面證明猜想不等式的正確性。 方法1：由n元算術(shù)——幾何均值不等式，得≥， 。 這兩個(gè)不等式相乘，可得猜想不等式。 方法2：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(a1+a2+…+an)x2+2nx+()，則 f(x)=a1(x+)2+a2(x+)2+…+an(x+)2。 因?yàn)閍1>0，a2>0，…，an>0， ∴f(x)≥0恒成立。 從而Δ=4n2－4(a1+a2+…+an)()2≤0， 即(a1+a2+…+an)()2≥n2。 故x≥y。 綜上可知，除非價(jià)格穩(wěn)定不變（a1=a2=…=an），否則小李的購(gòu)糖方式總比小王的購(gòu)糖方式合算。