Question

已知a＞1，若函數(shù)f(x)=

ax，-1＜x≤1 f(x-2)+a-1，1＜x≤3

，則f[f（x）]-a=0的根的個(gè)數(shù)最多有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：設(shè)t=f（x），則方程轉(zhuǎn)化為f（t）-a=0，即f（t）=a，然后根據(jù)函數(shù)的圖象確定x解的個(gè)數(shù)．

解答：解：設(shè)t=f（x），則方程轉(zhuǎn)化為f（t）-a=0，即f（t）=a，
當(dāng)1＜x≤3時(shí)，-1＜x-2≤1，
∴此時(shí)f（x）=f（x-2）+a-1=a^x-2+a-1．
當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，

1

a

＜f(x)≤a，
當(dāng)1＜x≤3時(shí)，

1

a

+a-1＜f(x)≤2a-1，．
∵a＞1，∴2a-1＞a.

1

a

+a-1≥2

1 a ?a

-1=2-1=1．
由圖象可知，∵f（t）=a＞1，∴當(dāng)

1

a

+a-1＜t＜a時(shí)，t最多有兩個(gè)解．
其中t＜1，或1＜t＜3．
當(dāng)t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x），只有一解x∈（-1，1），
當(dāng)1＜t＜3．函數(shù)t=f（x），最多有2個(gè)解．
故f[f（x）]-a=0的根的個(gè)數(shù)最多有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題只有考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為f（t）=a，然后利用圖象確定方程根的個(gè)數(shù)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．