Question

已知兩點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），動點M在y軸上的射影為N，且滿足2•

MF1

•

MF2

=

MN

²
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）A，B是軌跡C上的兩點，AB中點S的橫坐標(biāo)為1，求|AB|的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的一般式方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，求出向量

MF1

，

MF2

，

MN

的坐標(biāo)，代入2•

MF1

•

MF2

=

MN

²求得動點M的軌跡C的方程；
（2）求出橢圓的右焦點坐標(biāo)，離心率e=

2

2

和右準(zhǔn)線方程，設(shè)點A，B及中點S在右準(zhǔn)線上的射影分別為A₁，B₁，S₁，則|SS₁|=3，然后由向量模間的關(guān)系求得|AB|的最大值，再設(shè)S（1，y₀），A （x₁，y₁），
B（x₂，y₂），由點差法求得AB的斜率，再由kAB=kSF2求得S的縱坐標(biāo)，則直線方程可求．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），
又F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
則

MF1

=(-2-x，-y)，

MF2

=(2-x，-y)．
由2•

MF1

•

MF2

=

MN

²可得2[（x+2）（x-2）+y²]=x²，
化簡得x²+2y²=8，即動點M的坐標(biāo)滿足于方程

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的右焦點為（2，0），離心率e=

2

2

，右準(zhǔn)線為：x=4
設(shè)點A，B及中點S在右準(zhǔn)線上的射影分別為A₁，B₁，S₁，則|SS₁|=3，
|AA₁|+|BB₁|=2|SS₁|=6，|AF2|+|BF2|=e(|AA1|+|BB1|)=3

2

，
|AB|≤|AF2|+|BF2|=3

2

，當(dāng)AB過右焦點時取等號，
∴|AB|的最大值是3

2

，此時，AB過右焦點（2，0），
設(shè)S（1，y₀），A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x12+2y12=8，x22+2y22=8，
兩式相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
將x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀代入上式，可得 （x₁-x₂）+2y₀（y₁-y₂）=0，
由|AB|=3

2

知y₀≠0，x₁≠x₂，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2y0

，
又kAB=kSF2=

y0

1-2

=-y0，
∴y02=

1

2

，y0=±

2

2

．
當(dāng)y0=

2

2

時，kAB=-

2

2

，
直線方程為x+

2

y-2=0；
當(dāng)y0=-

2

2

時，kAB=

2

2

，
直線方程為x-

2

y-2=0

點評：本題考查了橢圓分析的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，關(guān)鍵是向量的模的運算，著重體現(xiàn)了設(shè)而不求的解題思想方法，是壓軸題．