Question

在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2acosθ（a≠0），以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=3t+1 y=4t+3

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C恒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圓C的極坐標(biāo)方程，由消元法把直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線l與圓C有公共點的幾何條件，建立關(guān)于a的不等式關(guān)系，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由

x=3t+1 y=4t+3

得，

x-1 3 =t y-3 4 =t

，則

x-1

3

=

y-3

4

，
∴直線l的普通方程為：4x-3y+5=0，…（2分）
由ρ=2acosθ得，ρ²=2aρcosθ
又∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+y²=a²，…（5分）
（Ⅱ）∵直線l與圓C恒有公共點，∴

|4a+5|

42+(-3)2

≤|a|，…（7分）
兩邊平方得9a²-40a-25≥0，∴（9a+5）（a-5）≥0
∴a的取值范圍是a≤-

5

9

或a≥5．…（10分）

點評：本題主要考查學(xué)生會將曲線的極坐標(biāo)方程及直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，運(yùn)用幾何法解決直線和圓的方程的問題，屬于基礎(chǔ)題．