Question

已知y=2x是△ABC中∠C的內(nèi)角平分線所在直線的方程，若A（-4，2），B（3，1）．
（1）求點(diǎn)A關(guān)于y=2x的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求直線BC的方程；
（3）判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（m，n）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)建立關(guān)于m、n的方程組，解之得m=4且n=-2，即可得到所求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）根據(jù)角的兩邊關(guān)于角平分線所在直線對(duì)稱，得到P（4，-2）在BC上，用點(diǎn)斜式寫出直線PB的方程，即得
直線BC的方程；
（3）則BC方程與AC方程聯(lián)解得出C（2，4），從而得到AB、BC、AC的長度，算出|AB|²=|BC|²+|AC|²，從而得到△ABC為以∠C為直角的直角三角形．

解答：解：（1）設(shè)A關(guān)于y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為P（m，n）．
∴

n-2 m+4 ×2=-1 n+2 2 =2× m-4 2

解之得

m=4 n=-2.

，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-2）．
（2）∵P（4，-2）在BC上，
∴BC的方程為y-1=-3（x-3），即3x+y-10=0．
（3）由

y=2x 3x+y-10=0

，解得

x=2 y=4.

∴C的坐標(biāo)為（2，4）．
由|AB|=

50

，|BC|=

10

，|AC|=

40

，
得|AB|²=|BC|²+|AC|²，
∴△ABC為以∠C為直角的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，在給出角A平分線的基礎(chǔ)之上求BC的方程，并判斷三角形的形狀，著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、直線與直線的位置關(guān)系和三角形形狀的判斷等知識(shí)，屬于中檔題．