Question

已知A、B是二面角α-a-β的棱a上兩點(diǎn)，AB=4cm，在α內(nèi)，AC⊥a，且AC=6cm，在β內(nèi)BD⊥a且BD=8cm，當(dāng)此二面角是60゜時，
（1）求CD的長；
（2）求B到面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）由AC⊥a，BD⊥a可得AB是異面直線AC、BD公垂線，故AC、BD所成角等于此二面角的平面角60゜，代入異面兩點(diǎn)之間的距離公式，可得CD的長；
（2）作DE⊥平面a于E，連BE，利用等積法，求出四棱錐D-ABC的體積，進(jìn)而可得B到面ACD的距離．

解答：解：（1）AB是異面直線AC、BD公垂線，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm
又AC、BD所成角等于此二面角的平面角60゜，
故CD=

AB2+AC2+BD2-2AC?BD?cos60°

=2

17

cm．
（2）在三棱錐D-ABC中，S△ABC=

1

2

AB?AC=12cm2．
作DE⊥平面a于E，連BE，
∵BD⊥a，則a⊥BE，故∠DBE=60゜，
∴DE=BD?sin60o=4

3

(cm)，
于是VD-ABC=DE?S△ABC=16

3

．
又設(shè)B到平面ADC距離為d，連AD．
在△ACD中，AD²=80，CD²=68，AC²=36，
S△ACD=

1

4

4?AD2?CD2-(AD2+CD2-AC2)

=24．
故VB-ACD=

1

3

?d?24=16

3

，
∴d=2

3

cm．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是空間兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到平面的距離，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握異面直線上兩點(diǎn)之間的距離公式，（2）的關(guān)鍵是利用等積法．