14.如圖,已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的焦距為2,且$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$,求橢圓的方程.

分析 (1)由△AOF2為等腰直角三角形,則b=c,利用橢圓的離心率公式求得橢圓的離心率;
(2)由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算,求得B點坐標,代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程.

解答 解:(1)若∠F1AB=90°,則△AOF2為等腰直角三角形.則|OA|=|OF2|,即b=c.
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c,
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)由題知2c=2,c=1,則A(0,b),F(xiàn)2(1,0),設(shè)B(x,y),
由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$,即(1,-b)=2(x-1,y),
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2=1}\\{2y=-b}\end{array}\right.$,解得x=$\frac{3}{2}$,y=-$\frac{2}$.
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,即$\frac{9}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4}=1$解得a2=3.b2=a2-c2=2,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì),考查向量的坐標運算,考查計算能力,屬于中檔題.

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