Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1右焦點(diǎn)為F₂，過F₂的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若橢圓上一點(diǎn)P可使

OA

+

OB

+

OP

=

0

，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：過F₂的直線l的方程為y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

2k2+1

，y₁+y₂=-

2k

2k2+1

，設(shè)P（m，n），由

OA

+

OB

+

OP

=

0

，P（m，n）在橢圓上，推導(dǎo)出

(- 4k2 2k2+1 )2

2

+(

2k

2k2+1

)2=1，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：∵橢圓

x2

2

+y2=1右焦點(diǎn)為F₂（1，0），
∴過F₂的直線l的方程為x=1或y=k（x-1），
當(dāng)x=1時(shí)，

OA

+

OB

=

OF

，使

OA

+

OB

+

OP

=

0

的點(diǎn)P不存在，
∴x=1不成立．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=

4k3

2k2+1

-

4k3+2k

2k2+1

=-

2k

2k2+1

，
設(shè)P（m，n），∵

OA

+

OB

+

OP

=

0

，P（m，n）在橢圓上，
∴

m=- 4k2 2k2+1 n= 2k 2k2+1

，且

(- 4k2 2k2+1 )2

2

+(

2k

2k2+1

)2=1，
解得k=±

1

2

，
當(dāng)k=

2

2

時(shí)，m=-1，n=

2

2

，P（-1，

2

2

）；
當(dāng)k=-

2

2

時(shí)，m=-1，n=-

2

2

，P（-1，-

2

2

）．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P（-1，

2

2

）或P（-1，-

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量知識(shí)和橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用．