Question

12．如圖，已知矩形ABCD所在平面與等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M為線段AE的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：BM⊥平面AEC；
（Ⅱ） 求MC與平面DEC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能證明BM⊥平面AEC．
（Ⅱ）將幾何體ABCDE補(bǔ)成三棱柱AFD-BEC，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)MG，GC，推導(dǎo)出∠MCG為MC與平面DEC所成的角，由此能求出MC與平面DEC所成的角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BEC，
所以AB⊥平面BEC，故AB⊥EC．
因?yàn)锽E⊥EC，所以EC⊥平面ABE，
故EC⊥BM． …（3分）
因?yàn)锳B=BE，M為AE的中點(diǎn)，所以AE⊥BM．
所以BM⊥平面AEC．…（7分）
解：（Ⅱ）如圖，將幾何體ABCDE補(bǔ)成三棱柱AFD-BEC，
設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)MG，GC．
因?yàn)镸G∥BE，所以MG⊥平面DEC． …（10分）
因此∠MCG為MC與平面DEC所成的角． …（11分）
不妨設(shè)AB=2，則AB=BE=EC=2，
因此MG=1，$ME=\sqrt{2}$，$MC=\sqrt{6}$，
故$sin∠MCG=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
所以MC與平面DEC所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．