Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，延長DC交AB的延長線于點P．
（1）求證：PC²=PA•PB；
（2）若3AC=4BC，⊙O的直徑為7，求線段PC的長．

Answer 1

分析 （1）證明：△PAC∽△PCB，可得$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{AC}{CB}$，即可證明PC²=PA，PB；
（2）若3AC=4BC，則$\frac{PC}{PB}$=$\frac{4}{3}$，利用切割線定理，求線段PC的長．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，
∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC，
∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠PCA=∠PBC，
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PAC∽△PCB，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}=\frac{AC}{CB}$，
∴PC²=PA•PB；
（2）解：∵3AC=4BC，∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{4}{3}$，
設PC=4k，PB=3k，則PA=3k+7，
∴（4k）²=3k（3k+7），
∴k=3（k=0舍去），
∴PC=12．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．