Question

5．在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），圓心為直線ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$與極軸的交點(diǎn)．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圓C所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）先把極坐標(biāo)方程化為普通方程，寫出圓C的普通方程，再化為極坐標(biāo)方程即可．
（2）直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）的普通方程為y=$\sqrt{3}$x，求出圓心C（1，0）到直線y=$\sqrt{3}x$的距離d，從而直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圓C所截得的弦長：|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-efpsklz^{2}}$．

解答 解：（1）把極坐標(biāo)形式化為直角坐標(biāo)系形式，
∵點(diǎn)P（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），∴x=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，y=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，∴點(diǎn)P（1，1）．
∵直線ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$ρsinθcos\frac{π}{3}-ρcosθsin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y-$\sqrt{3}x$=-$\sqrt{3}$，
令y=0，則x=1，∴直線與x軸的交點(diǎn)為C（1，0）．
∴圓C的半徑r=|PC|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=1．
∴圓C的方程為：（x-1）²+y²=1，展開為：x²-2x+1+y²=1，
化為極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∴圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ=2cosθ．
（2）∵直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），∴直線的普通方程為y=$\sqrt{3}x$，
∵圓心C（1，0）到直線y=$\sqrt{3}x$的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圓C所截得的弦長：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-wvjcl27^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=1．
∴直線θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圓C所截得的弦長為1．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查直線截圓所得弦長的求法，靈活利用極坐標(biāo)方程與普通方程的互化公式是解決問題的關(guān)鍵．