Question

10．已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同．直線l的極坐標(biāo)方程為：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，點(diǎn)P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈[0，2π]．
（1）求點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（2）求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，由此能求出點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程．
（2）由已知得$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$．從而直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$，求出圓心到直線的距離，得點(diǎn)P所在的圓與直線l相離，由此能求出點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵P（2cosα，2sinα+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，且參數(shù)α∈[0，2π]，
所以點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-2）²=4．…（3分）
（2）∵ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，∴$ρsin（θ-\frac{π}{3}）$=5，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=5$，即$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$．…（6分）
由（1）知點(diǎn)P的軌跡方程為x²+（y-2）²=4，是圓心為（0，2），半徑為2的圓．
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2+10|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
點(diǎn)P所在的圓與直線l相離，…（9分）
∴點(diǎn)P到直線l距離的最大值4+2=6．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線距離的最大值的求法，靈活利用極坐標(biāo)方程與普通方程的互化公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．