Question

【題目】某工廠的一臺某型號機(jī)器有2種工作狀態(tài)：正常狀態(tài)和故障狀態(tài).若機(jī)器處于故障狀態(tài)，則停機(jī)檢修.為了檢查機(jī)器工作狀態(tài)是否正常，工廠隨機(jī)統(tǒng)計了該機(jī)器以往正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)的1000個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得出如圖1所示頻率分布直方圖.由統(tǒng)計結(jié)果可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為這1000個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)，近似為這1000個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.若產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值全部在之內(nèi)，就認(rèn)為機(jī)器處于正常狀態(tài)，否則，認(rèn)為機(jī)器處于故障狀態(tài).

（1）下面是檢驗員在一天內(nèi)從該機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件測得的質(zhì)量指標(biāo)值：

29 45 55 63 67 73 78 87 93 113

請判斷該機(jī)器是否出現(xiàn)故障？

（2）若機(jī)器出現(xiàn)故障，有2種檢修方案可供選擇：

方案一：加急檢修，檢修公司會在當(dāng)天排除故障，費(fèi)用為700元；

方案二：常規(guī)檢修，檢修公司會在七天內(nèi)的任意一天來排除故障，費(fèi)用為200元.

現(xiàn)需決策在機(jī)器出現(xiàn)故障時，該工廠選擇何種方案進(jìn)行檢修，為此搜集檢修公司對該型號機(jī)器近100單常規(guī)檢修在第i（，2，…，7）天檢修的單數(shù)，得到如圖2所示柱狀圖，將第i天常規(guī)檢修單數(shù)的頻率代替概率.已知該機(jī)器正常工作一天可收益200元，故障機(jī)器檢修當(dāng)天不工作，若機(jī)器出現(xiàn)故障，該選擇哪種檢修方案？

附：，，.

Answer 1

【答案】（1）可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)；（2）選擇加急檢修更為適合

【解析】

（1）由圖1可估計1000個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差，所以，，從而得到產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為（28.87，111.13），由于抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在（28.87，111.13）之內(nèi)，故機(jī)器處于故障狀態(tài)；
（2）方案一：工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為700＋200＝900元；方案二：設(shè)損失收益為元，求出的可能值，然后由圖2可得出每個的取值所對應(yīng)的概率，求出數(shù)學(xué)期望，可得工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和，與900對比，即可得出結(jié)論.

（1）由圖1可估計1000個產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差分別為

，

，

依題意知，，，

所以，，

所以產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為，

又抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在之內(nèi)，

故可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)；

（2）方案一：若安排加急檢修，工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為元；

方案二：若安排常規(guī)檢修，工廠需要要支付檢修費(fèi)為200元，

設(shè)損失收益為X元，則X的可能取值為200，400，600，800，1000，1200，1400，

X的分布列為：

X	200	400	600	800	1000	1200	1400
P	0.07	0.18	0.25	0.20	0.15	0.12	0.03

元；

故需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為元，

因為，所以當(dāng)機(jī)器出現(xiàn)故障，選擇加急檢修更為適合.