Question

12．設(shè)點(diǎn)P為橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1（{a＞2}）$上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 依題意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a，求出|F₁F₂|=2，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，從而可求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1（{a＞2}）$，
∴b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-4}$．
又∵P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，F(xiàn)₁、F₂為左右焦點(diǎn)，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2$\sqrt{{a}^{2}-4}$，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=4a²-3|F₁P|•|PF₂|
=4a²-16，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{16}{3}$．
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用與三角形的面積公式，屬于中檔題．