Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．
（I）判斷△ABC的形狀；
（II）求y=cosA+sin（B+

π

6

）的最大值，并求y取得最大值時(shí)角C的大小．

Answer 1

（I）在△ABC中，∵（a-b） cosC=c（cosB-cos A），由正弦定理可得 （sinA-sinB） cosC=sinC（cosB-cos A），
化簡(jiǎn)可得 sin（A+C）=sin（B+C），
∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC為等腰三角形．
（II）由（I）可得A=B∈（0，

π

2

），由于 y=cosA+sin（B+

π

6

）=cosA+

3

2

sinA+

1

2

sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin（A+

π

3

），
故當(dāng) A+

π

3

=

π

2

，即 A=

π

6

=B時(shí)，y_max=

3

，此時(shí)，C=π-（A+B）=

2π

3

．