【題目】已知是拋物線上的兩個點,點的坐標為,直線的斜率為.設拋物線的焦點在直線的下方.
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)設C為W上一點,且,過兩點分別作W的切線,記兩切線的交點為. 判斷四邊形是否為梯形,并說明理由.
【答案】(Ⅰ);(2)四邊形不可能為梯形,理由詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)(Ⅰ)直線過點 ,且斜率為k,所以直線方程可設為,若焦點在直線的下方,則滿足不等式,代入求的范圍;(Ⅱ)設直線的方程為,,分別與拋物線聯(lián)立,因為直線和拋物線的一個交點坐標已知,故可利用韋達定理求出切點的橫坐標,則可求在點處的切線斜率,若四邊形是否為梯形,則有得或,根據(jù)斜率相等列方程,所得方程無解,故四邊形不是梯形.
試題解析:(Ⅰ)解:拋物線的焦點為.由題意,得直線的方程為,
令,得,即直線與y軸相交于點.因為拋物線的焦點在直線的下方,
所以,解得,因為,所以.
(Ⅱ)解:結論:四邊形不可能為梯形.理由如下:
假設四邊形為梯形.由題意,設,,,
聯(lián)立方程,消去y,得,由韋達定理,得,所以.
同理,得.對函數(shù)求導,得,所以拋物線在點處的切線的斜率為,拋物線在點處的切線的斜率為.
由四邊形為梯形,得或.
若,則,即,因為方程無解,所以與不平行.
若,則,即,因為方程無解,所以與不平行.所以四邊形不是梯形,與假設矛盾.因此四邊形不可能為梯形.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓上, 為橢圓的右焦點, 分別為橢圓的左,右兩個頂點.若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點,且線段的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與相交于點,證明: 三點共線.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,且直線與曲線交于兩點.
(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)把直線與軸的交點記為,求的值.
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【題目】為探索課堂教學改革,江門某中學數(shù)學老師用傳統(tǒng)教學和“導學案”兩種教學方式,在甲、乙兩個平行班進行教學實驗。為了解教學效果,期末考試后,分別從兩個班級各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計,得到如下莖葉圖。記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”。
(Ⅰ)請大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳,并說明理由;
(Ⅱ)構造一個教學方式與成績優(yōu)良列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”?
(附:,其中是樣本容量)
獨立性檢驗臨界值表:
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【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點和.設線段, 的中點分別為,求證:直線恒過一個定點;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
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【題目】如圖,在Rt中, ,點、分別在線段、上,且,將沿折起到的位置,使得二面角的大小為.
(1)求證:;
(2)當點為線段的靠近點的三等分點時,求與平面 所成角的正弦值.
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【題目】如圖所示的矩形中, ,點為邊上異于, 兩點的動點,且, 為線段的中點,現(xiàn)沿將四邊形折起,使得與的夾角為,連接, .
(1)探究:在線段上是否存在一點,使得平面,若存在,說明點的位置,若不存在,請說明理由;
(2)求三棱錐的體積的最大值,并計算此時的長度.
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