已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)證明:不論m取什么實(shí)數(shù)時(shí),直線l與圓恒交于兩點(diǎn);
(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線l的方程.
分析:(1)把直線l的方程變形后,根據(jù)直線l恒過(guò)定點(diǎn),得到關(guān)于x與y的二元一次方程組,求出方程組的解即為直線l恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離d,發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑,得到此點(diǎn)在圓內(nèi),故直線l與圓恒交于兩點(diǎn);
(2)由平面幾何知識(shí)可知,當(dāng)直線l與AC垂直時(shí),所截取的線段最短,由圓心C和定點(diǎn)A的坐標(biāo)求出直線AC的斜率,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,求出直線l的斜率,由A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線l的方程,再由A與C的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|即為弦心距,根據(jù)圓的半徑,弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形,利用勾股定理即可求出此時(shí)的弦長(zhǎng).
解答:解:(1)由m(2x+y-7)+(x+y-4)=0知直線l恒過(guò)定點(diǎn),
又
?,
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(3,1),
且(3-1)
2+(1-2)
2=5<25?A(3,1)必在圓內(nèi),
故直線l與圓恒有兩交點(diǎn).
(2)∵圓心為C(1,2),定點(diǎn)為A(3,1)
∴
kAC==-由平面幾何知識(shí)知,當(dāng)直線l與AC垂直時(shí)所截線段最短,此時(shí)k
l=2
∴l(xiāng)方程為:y-1=2(x-3)?2x-y-5=0,此時(shí)
d= |AC| = =∴最短弦長(zhǎng)=
2=4 點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.第一問(wèn)的關(guān)鍵是求出直線l恒過(guò)的A點(diǎn)坐標(biāo),判定A在圓內(nèi);第二問(wèn)關(guān)鍵是根據(jù)平面幾何知識(shí)得到直線l與AC垂直時(shí)所截取的線段最短.