Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實數(shù)時，直線l與圓恒交于兩點；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程變形后，根據(jù)直線l恒過定點，得到關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離d，發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑，得到此點在圓內(nèi)，故直線l與圓恒交于兩點；
（2）由平面幾何知識可知，當(dāng)直線l與AC垂直時，所截取的線段最短，由圓心C和定點A的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線l的斜率，由A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線l的方程，再由A與C的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出|AC|即為弦心距，根據(jù)圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此時的弦長．

解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直線l恒過定點，
又

2x+y=7 x+y=4

?

x=3 y=1

，
∴直線l恒過定點A（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25?A（3，1）必在圓內(nèi)，
故直線l與圓恒有兩交點．
（2）∵圓心為C（1，2），定點為A（3，1）
∴kAC=

2-1

1-3

=-

1

2

由平面幾何知識知，當(dāng)直線l與AC垂直時所截線段最短，此時k_l=2
∴l(xiāng)方程為：y-1=2（x-3）?2x-y-5=0，此時d= |AC| = 

4+1

=

5

∴最短弦長=2

25-5

=4

5

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，恒過定點的直線方程以及點與圓的位置關(guān)系．第一問的關(guān)鍵是求出直線l恒過的A點坐標(biāo)，判定A在圓內(nèi)；第二問關(guān)鍵是根據(jù)平面幾何知識得到直線l與AC垂直時所截取的線段最短．