Question

對于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“P數(shù)對”；設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R⁺，且f（1）=3．
（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且f（2）=6，f（4）=9，求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若（1，1）是f（x）的一個“P數(shù)對”，求f（2ⁿ）（n∈N^*）；
（Ⅲ）若（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且當x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求k的值及f（x）在區(qū)間[1，2ⁿ）（n∈N^*）上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用f（2）=6，f（4）=9，建立方程組，即可求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2^k，則f（2^k+1）-f（2^k）=1，{f（2^k）}是等差數(shù)列，利用通項公式求解
（Ⅲ）令x=1，則f（1）=k-1=3，解得k=4，當x∈[1，2）時f（x）=4-|2x-3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范圍是[3，4]．利用由已知，f（2x）=-2f（x）恒成立⊕，將[1，2ⁿ）分解成[2^k-1，2^k），（k∈N*）的并集，通過⊕式求出f（x）在各段[2^k-1，2^k）上的取值范圍，各段上最大值、最小值即為所求的最大值，最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知

af(1)+b=f(2) af(2)+b=f(4)

，即

3a+b=6 6a+b=9

，
解得：

a=1 b=3

；…3分
（Ⅱ）由題意知f（2x）=f（x）+1恒成立，令x=2^k（k∈N*），
可得f（2^k+1）=f（2^k）+1，∴{f（2^k）}是公差為1的等差數(shù)列，
故f（2ⁿ）=f（2⁰）+n，又f（2⁰）=3，故f（2ⁿ）=n+3．  …8分
（Ⅲ）當x∈[1，2）時，f（x）=k-|2x-3|，
令x=1，可得f（1）=k-1=3，解得k=4，…10分
所以，x∈[1，2）時，f（x）=4-|2x-3|，故f（x）在[1，2）上的取值范圍是[3，4]．
又（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，故f（2x）=-2f（x）恒成立，
當x∈[2^k-1，2^k）（k∈N*）時，

x

2k-1

∈[1，2)，f(x)=-2f(

x

2

)=4f(

x

4

)=…=(-2)k-1f(

x

2k-1

)，…9分
故k為奇數(shù)時，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范圍是[3×2^k-1，2^k+1]；
當k為偶數(shù)時，f（x）在[2^k-1，2^k）上的取值范圍是[-2^k+1，-3×2^k-1]． …11分
所以當n=1時，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值為4，最小值為3；
當n為不小于3的奇數(shù)時，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值為2ⁿ⁺¹，最小值為-2ⁿ；
當n為不小于2的偶數(shù)時，f（x）在[1，2ⁿ）上的最大值為2ⁿ，最小值為-2ⁿ⁺¹．…13分．

點評：本題考查利用新定義分析問題、解決問題的能力．考查轉(zhuǎn)化計算，分類討論、構(gòu)造能力及推理論證能力，思維量大，屬于難題．