Question

（2006•海淀區(qū)一模）若球O的半徑長(zhǎng)為13，圓O₁為它的一個(gè)截面，且OO₁=12，則圓O₁的半徑長(zhǎng)為

10

；點(diǎn)A、B為圓O₁上兩定點(diǎn)，AB=10，若C為圓O₁上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的最大面積為

25

．

Answer 1

分析：由球的截面圓性質(zhì)，建立平方關(guān)系可算出圓O₁的半徑長(zhǎng)，從而得到AB=10剛好是AB為圓O₁的直徑，得到AC⊥BC，設(shè)∠CAB=α，利用三角函數(shù)的方法算出△ABC的面積S=

1

2

×AC×BC=25sin2α，可得它的最大面積為25．

解答：解：連結(jié)OO₁，則OO₁與截面圓O₁垂直
∵球O的半徑R=13，
∴截面圓O₁的半徑r=

R2-OO12

=

132-122

=5
∵點(diǎn)A、B為圓O₁上兩定點(diǎn)，AB=10
∴AB為圓O₁的直徑，
若C為圓O₁上的動(dòng)點(diǎn)，得AC⊥BC．設(shè)∠CAB=α，則
AC=ABcosα=10cosα，且BC=ABsinα=10sinα
∴△ABC的面積S=

1

2

×AC×BC=50sinαcosα=25sin2α
當(dāng)且僅當(dāng)α=

π

4

時(shí)，△ABC的最大面積為25
故答案為：10，25

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了球的截面圓性質(zhì)、勾股定理、圓的直徑的性質(zhì)和利用解直角三角形求三角形面積的最大值等知識(shí)，屬于中檔題．