Question

已知關(guān)于x的方程

|x2-1|

x-1

+2-

k

x

=0有兩個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方程即k=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

．結(jié)合題意可得直線y=k和函數(shù)f（x）=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

 的圖象有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答： 解：由關(guān)于x的方程

|x2-1|

x-1

+2-

k

x

=0有兩個不同的實(shí)數(shù)解，可得x≠1，且 x≠0，
當(dāng)x＞1時，方程即 k=x（x+3），
當(dāng)-1＜x＜1時，且x≠0時，方程即 k=x（1-x），
當(dāng)x≤-1時，方程即 k=x（x+3）．
綜上可得，當(dāng)x＞1時或x≤-1時，方程即 k=x（x+3）；當(dāng)-1＜x＜1時，且x≠0時，方程即 k=x（1-x）．
方程即k=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

．
結(jié)合題意可得直線y=k和函數(shù)f（x）=

x(x+3)，x＞1或x≤-1 x(1-x)，-1＜x＜1且x≠0

 的圖象有2個交點(diǎn)，
如圖所示：當(dāng)x=

1

2

，f（x）=

1

4

；當(dāng)x=-

3

2

時，f（x）=-

9

4

，當(dāng)x＞1時，f（x）＞4．
故滿足條件的k的范圍為{k|k＞4，或 k=

1

4

，或-

9

4

＜k≤0}，
故答案為：{k|k＞4，或 k=

1

4

，或-

9

4

＜k≤0}．

點(diǎn)評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．