已知橢圓C:(a>b>0)經(jīng)過點(),一個焦點是F(0,-).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設橢圓C與y軸的兩個交點為A1、A2,點P在直線y=a2上,直線PA1、PA2分別與橢圓C交于M、N兩點.試問:當點P在直線y=a2上運動時,直線MN是否恒經(jīng)過定點Q?證明你的結論.
【答案】分析:(I)假設橢圓方程,利用點(,)在橢圓上,即可確定橢圓方程;
(II)先確定直線MN恒經(jīng)過定點Q(0,1),再證明:當MN斜率不存在時,直線MN即y軸,通過點Q(0,1);當點P不在y軸上時,確定直線PA1,PA2與橢圓方程聯(lián)立,確定交點坐標,進而可得斜率,由此可得結論.
解答:解:(I)一個焦點是F(0,-),故c=,可設橢圓方程為      …(2分)
∵點(,)在橢圓上,∴
∴b2=1,(舍去)
∴橢圓方程為                      …(4分)
(II)直線MN恒經(jīng)過定點Q(0,1),證明如下:
當MN斜率不存在時,直線MN即y軸,通過點Q(0,1),…(6分)
當點P不在y軸上時,設P(t,4),A1(0,2)、A2(0,-2),M(x1,y1),N(x2,y2),
直線PA1方程y=,PA2方程y=,
y=代入得(1+t2)x2+2tx=0,
得x1=-,y1=,∴,…(8分)
y=代入得(9+t2)x2-6tx=0
得x2=,y2=,∴,…(10分)
∴kQM=kQN,∴直線MN恒經(jīng)過定點Q(0,1).        …(12分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線恒過定點,考查直線與橢圓的位置關系,聯(lián)立方程確定交點坐標是關鍵.
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已知橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),離心率為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知一直線l過橢圓C的右焦點F2,交橢圓于點A、B.
(。┤魸M足(O為坐標原點),求△AOB的面積;
(ⅱ)當直線l與兩坐標軸都不垂直時,在x軸上是否總存在一點P,使得直線PA、PB的傾斜角互為補角?若存在,求出P坐標;若不存在,請說明理由.

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(A)1     (B)2      (C)      (D)

 

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