Question

19．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為AA₁，CC₁的中點，AC⊥BE，點F在線段AB上，且AB=4AF．
（1）證明：BC⊥C₁D；
（2）若M為線段BE上一點，試確定M在線段BE上的位置，使得C₁D∥平面B₁FM．

Answer 1

分析 （1）先證明AC⊥面BCE，進而AC⊥BC，進而得到BC⊥面ACC₁，可得BC⊥C₁D；
（2）連結(jié)AE，在BE上取點M，使BE=4ME，連結(jié)FM，B₁M，F(xiàn)B₁，可得此時C₁D∥平面B₁FM．

解答 證明：直三棱柱可知CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，…（1分）

又∵AC⊥BE，CC₁∩BE=E，CC₁?平面BCE，BE?平面BCE，
∴AC⊥面BCE，
故AC⊥BC，…（4分）
又在直三棱柱中，CC₁⊥BC，AC∩CC₁=C，AC?平面ACC₁，CC₁?平面ACC₁，
故BC⊥面ACC₁，
C₁D在平面ACC₁內(nèi)，
∴BC⊥C₁D…（7分）
解：（2）連結(jié)AE，在BE上取點M，使BE=4ME，…（8分）
連結(jié)FM，B₁M，F(xiàn)B₁，在△BEA中，由BE=4ME，AB=4AF…（10分）
∴MF∥AE，…（11分）
又在面AA₁C₁C中，
∵C₁E=AD且C₁E∥AD，
∴C₁D∥AE，又MF∥AE，
∴C₁D∥MF，
C₁D?/平面B₁FM，F(xiàn)M?平面B₁FM，
C₁D∥平面B₁FM…（14分）

點評 本題考查的知識點焊 是直線與平面平行的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，難度中檔．