Question

4．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin²A-sin²C=sinAsinB-sin²B．
（1）求∠C的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=4，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理將角的等式轉(zhuǎn)化為邊的等式，利用余弦定理得到C的余弦值求C．
（2）由已知 定下來(lái)等式得到AB的長(zhǎng)度，利用正弦定理將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角A 的三角函數(shù)，利用角度范圍以及正弦函數(shù)的有界性求范圍．

解答 解：（1）由正弦定理可得a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=4$，∴$\overrightarrow{AB}•（{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}}）=4$．
即${|{\overrightarrow{AB}}|^2}=4$，
∴c=2．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB．
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴2＜a+b≤4．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形；利用兩個(gè)定理靈活將邊角關(guān)系進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵．