Question

10．已知曲線f（x）=$\frac{lo{g}_{2}（x+1）}{x+1}$（x＞0）上有一點(diǎn)列P_n（x_n，y_n）（n∈N*），過點(diǎn)P_n在x軸上的射影是Q_n（x_n，0），且x₁+x₂+x₃+…+x_n=2ⁿ⁺¹-n-2．（n∈N*）
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積是S_n，求S_n；
（3）在（2）條件下，求證：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{2{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{n{S}_{n}}$＜4．

Answer 1

分析 （1）求出n=1時(shí)，x₁=1；n≥2時(shí)，將n換為n-1，兩式相減，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用點(diǎn)滿足函數(shù)式，代入化簡，求出梯形的底和高，由梯形的面積公式，化簡可得；
（3）求得：$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{4}{n（3n+1）}=12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+1}）＜12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+3}）=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡即可得證．

解答 解：（1）n=1時(shí)，x₁=2²-1-2=1，
n≥2時(shí)，x₁+x₂+x₃+…+x_n-1=2ⁿ-（n-1）-2，①
又x₁+x₂+x₃+…+x_n=2ⁿ⁺¹-n-2，②
②-①得：x_n=2ⁿ-1（n=1仍成立）
故x_n=2ⁿ-1；                                       
（2）∵${y_n}=f（{x_n}）=\frac{{{{log}_2}（{2^n}-1+1）}}{{{2^n}-1+1}}=\frac{n}{2^n}$，
∴${Q_n}{Q_{n+1}}={2^n}$，又${P_n}{Q_n}=\frac{n}{2^n}$，${P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
故四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積為：${S_n}=\frac{{\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}}}{2}×{2^n}=\frac{3n+1}{4}$；
（3）證明：$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{4}{n（3n+1）}=12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+1}）＜12（\frac{1}{3n}-\frac{1}{3n+3}）=4（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜4（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=4（1-\frac{1}{n+1}）＜4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用數(shù)列遞推式，考查不等式的證明．注意運(yùn)用放縮法和裂項(xiàng)相消求和，考查梯形的面積公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．