Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦長(zhǎng)MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

　(1)

如圖，設(shè)動(dòng)圓的圓心O₁(x，y)，由題意知|O₁A|＝|O₁M|，當(dāng)O₁不在y軸上時(shí)，過(guò)O₁作O₁H⊥MN交MN于H，則H為MN的中點(diǎn)，

∴|O₁M|²＝|O₁H|²＋|MH|²＝x²＋16，

又|O₁A|²＝(x－4)²＋y²，

∴(x－4)²＋y²＝x²＋16，整理得y²＝8x(x≠0)，

當(dāng)O₁在y軸上時(shí)，∵|OA|＝4＝|MM|，

∴O₁與O重合，此時(shí)點(diǎn)O₁(0,0)也滿足y²＝8x，

∴動(dòng)圓圓心O₁的軌跡C方程為y²＝8x.

(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，

P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

將y＝kx＋b代入y²＝8x中，

得k²x²＋(2bk－8)x＋b²＝0，

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁＋x₂＝，①

x₁x₂＝，②

因?yàn)?i>x軸是∠PBQ的角平分線，

所以，

即y₁(x₂＋1)＋y₂(x₁＋1)＝0，

(kx₁＋b)(x₂＋1)＋(kx₂＋b)(x₁＋1)＝0，

2kx₁x₂＋(b＋k)(x₁＋x₂)＋2b＝0，③

將①，②代入③得2kb²＋(k＋b)(8－2bk)＋2k²b＝0，

∴k＝－b，此時(shí)Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，

即直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)．