Question

已知函數(shù)f（x）=

1

12

x³-

1

4

x²+cx+d（c，d∈R），滿足f（0）=0，f′（1）=0
（1）求c，d的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f′（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f′（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=0，f′（1）=0列出兩個(gè)方程，解出c、d的值；
（2）由（1）得f′（x），代入不等式化簡(jiǎn)后，根據(jù)一元二次不等式解法，利用對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，分別求出不等式的解集；
（3）由（1）得f′（x）代入g（x）=f′（x）-mx化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間，對(duì)m進(jìn)行分類討論，分別有二次函數(shù)的最值列出方程求出m的值．

解答： 解：（1）∵f（0）=0，∴d=0，
∵f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+c，f′（1）=0，
∴

1

4

-

1

2

+c=0，解得c=

1

4

；
（2）由（1）得，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∵h(yuǎn)（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，
∴f′（x）+h（x）＜0為：

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

+

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

＜0，
化簡(jiǎn)得x2-(b+

1

2

)x+

b

2

＜0，即(x-b)(x-

1

2

)＜0，
當(dāng)b=

1

2

時(shí)，解集是∅，
當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，解集是（

1

2

，b），
當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，解集是（b，

1

2

）；
（3）由（1）得，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，
該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5，
①當(dāng)m＜-1時(shí)，2m+1＜m，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞增的．
∴g（m）=-5，即

1

4

m2-(

1

2

+m)m+

1

4

=-5，
解得m=-3或m=

7

3

＞-1，則m=-3，
②當(dāng)-1≤m＜1時(shí)，m≤2m+1＜m+2時(shí)，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，2m+1]上是遞減的，在區(qū)間[2m+1，m+2]上是遞增的，
∴g（2m+1）=-5，即

1

4

(2m+1)2-(

1

2

+m)(2m+1)+

1

4

=-5，
解得m=-

1

2

-

1

2

21

或m=-

1

2

+

1

2

21

（都舍去）；
③當(dāng)m≥1時(shí)，2m+1≥m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上遞減，
∴g（m+2）=-5，即

1

4

(m+2)2-(

1

2

+m)(m+2)+

1

4

=-5，
解得m=-1+2

2

或m=-1-2

2

＜0，則m=-1+2

2

，
綜上可得，當(dāng)m=-3或m=-1+2

2

時(shí)，函數(shù)g（x）=f′（x）-mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，具體包含導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、恒成立問(wèn)題、不等式的解法、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值問(wèn)題，分類討論思想，對(duì)學(xué)生有一定的能力要求，屬于難題．