已知向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，并且滿足關(guān)系：|k
a
+
b
|  =
3
|
a
-k
b
|  (k＞0)，則
a
與
b
的夾角最大值為（　�。�
分析：通過(guò)|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，兩邊平方化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得數(shù)量積的表達(dá)式，設(shè)
a
與
b
夾角為θ，根據(jù)向量的夾角公式可得cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
，得到關(guān)于k的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求．
解答：解：由題意，|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，
所以(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2，
化簡(jiǎn)可得4k
a
•
b
=k2+1，
∴
a
•
b
=
k2+1
4k
(k＞0)；
設(shè)
a
與
b
夾角為θ，
則cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
k2+1
4k
=
k
4
+
1
4k
=(
k
2
)2+(
1
2
k
)2
=(
k
2
-
1
2
k
)2+
1
2
≥
1
2

因此，當(dāng)且僅當(dāng)
k
2
=
1
2
k
即k=1時(shí)，cosθ有最小值為
1
2
，
此時(shí)，向量
a
與
b
的夾角有最大值為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：|
a
|=
a
2
，考查了向量的夾角公式與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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