Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)不為零，前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的r，tN^*，都有．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（用a₁表示）；
（2）設(shè)a₁=1，b₁=3，，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）在（2）的條件下，求．

Answer 1

（1）;（2）詳見解析;（3）．

試題分析：（1）根據(jù)題中所給數(shù)列遞推關(guān)系的特征：，有且只有前n項(xiàng)和的比值，而題中又要求以a₁表示，即可想到令，，得到，這樣問題即可轉(zhuǎn)化為由求的問題，注意要分三步啊; （2）由（1）中所求的表達(dá)式，并已知a₁=1，即可確定出的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，再運(yùn)用條件，不難求出關(guān)系：，結(jié)合所證數(shù)列的特征和等比數(shù)列的定義，可得，即可得證;（3）由在（2）的條件下，即可得出的通項(xiàng)公式：化簡(jiǎn)得，觀察其特點(diǎn)和所求目標(biāo)，不難想到求出：，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)化簡(jiǎn)得：，這樣就可聯(lián)想到數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消的方法，可得：．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043306357515.png" style="vertical-align:middle;" />，令，，則，得，即． 2分
當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，此式也成立．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為．                                   5分
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，S_n＝n²．
依題意，時(shí)，，                                         7分
于是，且，
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．                          10分
（3）由（2）得，所以．                  12分
于是．                   15分
所以．                      16分