Question

設(shè)a，b，c分別是△ABC的三個角A，B，C所對的邊，研究A=2B是a²=b（b+c）的什么條件？以下是某同學(xué)的解法：
由A=2B，得sinA=sin2B，即：sinA=2sinB•cosB⇒a=2bcosB
⇒a=2b•

a2+c2-b2

2ac

．變形得a²c=a²b+bc²-b³⇒a²（c-b）
=b（b+c）（c-b）
所以，b=c或a²=b（b+c）
由此可知：A=2B是a²=b（b+c）的必要非充分條件．
請你研究這位同學(xué)解法的正誤，并結(jié)合自己的思考，可以得到“A=2B”是“a²=b（b+c）”的（　�。�條件．

A．充分非必要

B．必要非充分

C．充要

D．非充分非必要

Answer 1

分析：此同學(xué)的解法過程沒有問題，只是沒有意識到b=c時，亦有a²=b（b+c）成立，此說明此解法化角為邊有不完善之處，現(xiàn)提供另一解法，從角的三角函數(shù)的角度進(jìn)行證明，先化邊為角，再利用三角恒等變換公式進(jìn)行變形證明出結(jié)論，選出正確選項

解答：解：此同學(xué)的解法是錯誤的，這是因為當(dāng)b=c時，亦有a²=b（b+c），這是一個特殊情況，這說明此解法有不完善之處，正確證明過程如下：
先證a²=b（b+c）是A=2B的充分條件
∵a²=b（b+c）
∴4R²sinA²=4R²sinB（sinB+sinC）
∴sinA²=sinB（sinB+sinC）
∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinB×sinC
又sinA-sinB=2sin

A-B

2

cos

A+B

2

sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

∴（sinA-sinB）（sinA+sinB）
=2sin

A-B

2

cos

A+B

2

×2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=sin（A-B）sin（A+B）
又sin（A-B）sin（A+B）=sinB×sinC=sinB×sin（A+B）
∴sin（A-B）=sinB
∴A-B=B
∴A=2B
再證a²=b（b+c）是A=2B的必要條件，
由上證每步都可逆，故A=2B時，亦有a²=b（b+c），即A=2B是a²=b（b+c）的充分條件
綜上得，該同學(xué)證明錯誤，應(yīng)為充要條件
故選C

點評：本題是一個證明題，充要條件的證明要分充分性與必要性分別證明，解題的關(guān)鍵是正確理解充要條件證明的規(guī)律，理解充要條件，分清楚那個證明方向是充分性那個證明方向是必要性，由此同學(xué)的證明方法可以得出這么一個結(jié)論即證明問題時選取的角度不同，證明的結(jié)論可能是不同的，對一個題找到最合適的證明方法是正確求解的重點．