Question

已知橢圓的右頂點為A，右焦點為F，直線與x軸交于點B且與直線交于點C，點O為坐標(biāo)原點，，，過點F的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，點P為點M直線的對稱點
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：N、B、P三點共線；
（3）求△BMN的面積．的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，，可得且，從而可求橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，同時確定的坐標(biāo)，證明共線，即可證得結(jié)論；
（3）求出d為B到l的距離，弦長，即可表示出面積，從而可求△BMN的面積的最大值．
解答：（1）解：因為，，所以且，所以a=2，c=1
所以，所以橢圓方程為：…（4分）
（2）證明：設(shè)直線l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則由，消去y得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，
所以…（6分）
由于P（8-x₁，y₁），，
因為（4-x₁）y₂-（x₂-4）y₁=4（y₁+y₂）-x₁y₂-y₁x₂=4k（x₁+x₂-2）-2kx₁x₂+k（x₁+x₂）=…（8分）
當(dāng)l⊥x軸時，也滿足
故共線，所以N、B、P三點共線…（9分）
（3）解：記d為B到l的距離，則，，…（10分）
所以=…（12分）
當(dāng)l⊥x軸時，，…（13分）
所以△BMN的面積的最大值為…（14分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點共線，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．