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9.已知圓x2+y2-2x-4y+m=0.
(1)此方程表示圓,求m的取值范圍;
(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求以MN為直徑的圓的方程.

分析 (1)利用配方法將圓的方程化為一般式,列出不等式求出m的取值范圍;
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線方程和圓的方程消去x化簡(jiǎn),由韋達(dá)定理求出“y1+y2”和“y1y2”,結(jié)合條件和向量的數(shù)量積運(yùn)算列出方程求出m,代入方程求出M、N的坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo),再求出半徑即可求出以MN為直徑的圓的方程.

解答 解:(1)圓:x2+y2-2x-4y+m=0,可化為(x-1)2+(y-2)2=5-m,
∵此方程表示圓,∴5-m>0,即m<5.…(4分)
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立{x+2y4=0x2+y22x4y+m=0消去x得,
(4-2y)2+y2-2×(4-2y)-4y+m=0,化簡(jiǎn)得5y2-16y+m+8=0,
則y1+y2=165,y1y2=m+85,
∵以MN為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),∴OM⊥ON,
OMON=0,∴y1y2+x1x2=0,
即y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0,
∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0,
∴16-8×165+5×m+85=0,解之得m=85.…(8分)
由m=85,代入5y2-16y+m+8=0,
化簡(jiǎn)整理得25y2-80y+48=0,解得y1=125,y2=45
∴x1=4-2y1=-45,x2=4-2y2=125,
則M(-45125),N(125,45),∴MN的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(45,85),
又|MN|=125+452+451252=855,∴所求圓的半徑為455
∴所求圓的方程為(x-452+(y-852=165.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系,向量的數(shù)量積運(yùn)算,及韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力,屬于中檔題.

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