Question

12．設(shè)f（x）=e^x-ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（2）若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的最小值即可；
（2）根據(jù)題意，對f（x）求導(dǎo)可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna與x＞lna兩種情況討論可得f（x）取最小值為f（lna）=a-alna，令g（t）=t-tlnt，對其求導(dǎo)可得g′（t）=-lnt，分析可得當(dāng)t=1時，g（t）取得最大值1，因此當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，a-alna≥1成立，即可得答案．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=e^x-x，
f′（x）=e^x-1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（0）=1；
（2）f'（x）=e^x-a，令f'（x）=0得x=lna，
當(dāng)x＜lna時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞lna時f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=lna時，f（x）取最小值f（lna）=a-alna．
于是對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a-alna≥1．①
令g（t）=t-tlnt，則g'（t）=-lnt．
當(dāng)0＜t＜1時，g'（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1時，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減．
故當(dāng)t=1時，g（t）大值g（1）=1．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，①式成立．
綜上所述，a的取值集合為{1}．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立問題，是綜合題；關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，并能正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．