Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₆=14，S_n為其前n項和，S₅=25．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數(shù)列的首項與公差，然后求解通項公式．
（2）化簡通項公式的表達(dá)式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₆=14，S_n為其前n項和，S₅=25．∴a₃=5，
可得5-d+5+3d=14，解得d=2，則a₁=1．
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$，
所以T_n的最小值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，裂項法求解數(shù)列的和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．