已知數(shù)列{a
n}的首項為1,對任意的n∈N
*,定義b
n=a
n+1-a
n.
(Ⅰ) 若b
n=n+1
(i)求a
3的值和數(shù)列{a
n}的通項公式;
(ii)求數(shù)列{
}的前n項和S
n;
(Ⅱ)若b
n+1=b
n+2b
n(n∈N
*),且b
1=2,b
2=3,求數(shù)列{b
n}的前3n項的和.
考點:數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)(i)由a
1=1,a
2=a
1+b
1,可得a
3=a
2+b
2.
由a
n+1-a
n=n+1可得當(dāng)n≥2時,a
n=a
1+(a
2-a
1)+…+(a
n-a
n-1),再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出.
(ii)由(i)得:
==
2(-),利用“裂項求和”即可得出.
(II)對任意的n∈N
*有b
n+1=b
n+2b
n(n∈N
*),且b
1=2,b
2=3,可得
bn+6==
=
=
=b
n,即數(shù)列{b
n}各項的值重復(fù)出現(xiàn),周期為6.對n分類討論即可得出.
解答:
解:(Ⅰ)(i)∵a
1=1,a
2=a
1+b
1=1+2=3,
∴a
3=a
2+b
2=3+3=6.
.由a
n+1-a
n=n+1得
當(dāng)n≥2時,a
n=a
1+(a
2-a
1)+…+(a
n-a
n-1)
=1+2+…+n
=
,
而a
1=1適合上式,
∴
an=.
(ii)由(i)得:
==
2(-),
∴S
n=
++
+…+
=
2[(1-)+(-)+…+(-)]=
2(1-)=
.
(Ⅱ)∵對任意的n∈N
*有b
n+1=b
n+2b
n(n∈N
*),且b
1=2,b
2=3,
∴
bn+6==
=
=
=b
n,
∴數(shù)列{b
n}各項的值重復(fù)出現(xiàn),周期為6.
又?jǐn)?shù)列{b
n}的前6項分別為2,3,
,
,
,
,且這六個數(shù)的和為8.
設(shè)數(shù)列{b
n}的前n項和為S
n,則,
當(dāng)n=2k(k∈N
*)時,
S
3n=S
6k=k(b
1+b
2+…+b
6)=8k,
當(dāng)n=2k+1(k∈N
*)時,
S
3n=S
6k+3=k(b
1+b
2+…+b
6)+b
1+b
2+b
3=8k+
,
當(dāng)n=1時,S
3=
.
∴當(dāng)n為偶數(shù)時,S
3n=4n;當(dāng)n為奇數(shù)時,
S3n=4n+.
點評:本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的周期性;考查了分類討論的思想方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓C:
+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F
1、F
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1F
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1 PQ面積的最大值為6,求橢圓C的方程.
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),都有f(tanα)+f(
)≥4cosβ(0≤β≤2π)成立,則β的取值范圍是( 。
A、[,] |
B、[,] |
C、[0,]∪[,2π] |
D、[0,]∪[,2π |
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數(shù)列{a
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17=
.
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x+m(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))的圖象上存在點(x,y)滿足條件:
則實數(shù)m的取值范圍是( )
A、[-1,2e-e2] |
B、[2-e2,-1] |
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D、[2-e2,0] |
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B、必要不充分條件 |
C、充分必要條件 |
D、既不充分又不必要條件 |
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如圖,AB是圓O的一條弦,點P是AB上一點,點C是圓O上一點,PC⊥OP,AP=4,PB=2,則PC=
.
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2+y
2-2x-2y-2=0,設(shè)A是直線l上動點,直線AC交圓于點B,若在圓C上存在點M,使∠MAB=
,則點A的橫坐標(biāo)的取值范圍為
.
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