Question

已知函數(shù)f（x）=x 

1

2

（x＞0），若對(duì)于任意α∈（0，

π

2

），都有f（tanα）+f（

1

tanα

）≥4cosβ（0≤β≤2π）成立，則β的取值范圍是（　　）

• A、[

  π

  3

  ，

  5π

  3

  ]
• B、[

  π

  6

  ，

  11π

  6

  ]
• C、[0，

  π

  3

  ]∪[

  5π

  3

  ，2π]
• D、[0，

  π

  6

  ]∪[

  11π

  6

  ，2π

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意，利用基本不等式求出cosβ的取值范圍，即可求出對(duì)應(yīng)的β的取值范圍是什么．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x 

1

2

（x＞0），且當(dāng)α∈（0，

π

2

）時(shí)，f（tanα）+f（

1

tanα

）≥4cosβ恒成立，
∴

tanα

+

1

tanα

≥4cosβ，
即

tanα

+

1

tanα

≥2；
∴4cosβ≤2，
即cosβ≤

1

2

；
又∵0≤β≤2π，
∴

π

3

≤β≤

5π

3

；
即β的取值范圍是[

π

3

，

5π

3

]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．