Question

14．已知如圖所示的多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，四邊形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=$\frac{π}{3}$．若BF=BD=2，則多面體的體積$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接AC，AC∩BD=O，推導出AC⊥BD，ED⊥AC，從而AO為四棱錐ABDEF的高，再求出△ABD為等邊三角形，S_{四邊形BDEF}=4，由此能求出多面體的體積．

解答 解：如圖，連接AC，AC∩BD=O．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因為ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以ED⊥AC．
因為ED，BD?平面BDEF，且ED∩BD=D，
所以AC⊥平面BDEF，所以AO為四棱錐ABDEF的高．
又因為四邊形ABCD是菱形，∠BAD=$\frac{π}{3}$，
所以△ABD為等邊三角形．
又因為BF=BD=2，所以AD=2，AO=$\sqrt{3}$，S_{四邊形BDEF}=4，
所以V_{四棱錐ABDEF}=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，即多面體的體積為$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題考查多面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題．