Question

19．已知直角△AOB的面積為1，O為直角頂點．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值為1．

Answer 1

分析 設(shè)$\overline{OA}$=x$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=y$\overrightarrow$，用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$，得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$關(guān)于x，y的函數(shù)，利用基本不等式得出最值．

解答 解：設(shè)OA=x，OB=y，則xy=2，$\overline{OA}$=x$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=y$\overrightarrow$，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$．
∵$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=1．
∴$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$=（x-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$.$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{a}$+（y-2）$\overrightarrow$．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=[（x-1）$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$]•[-$\overrightarrow{a}$+（y-2）$\overrightarrow$]=（1-x）${\overrightarrow{a}}^{2}$-2（y-2）${\overrightarrow}^{2}$=5-（x+2y）．
∵x+2y≥2$\sqrt{2xy}$=4．
∴5-（x+2y）≤1．
故答案為：1．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．