Question

9．從某校的一次學(xué)料知識競賽成績中，隨機抽取了50名同學(xué)的成績，統(tǒng)計如下：

組別	[30，40]	[40，50]	[50，60]	[60，70]	[70，80]	[80，90]	[90，100]
頻數(shù)	3	10	12	15	6	2	2

（Ⅰ）求這50名同學(xué)成績的樣本平均數(shù)$\overline{x}$（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅱ）由頻數(shù)分布表可以認為，本次學(xué)科知識競賽的成績Z服從正態(tài)分布N（μ，196），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline{x}$．
①利用該正態(tài)分布．求P（Z＞74）；
②某班級共有20名同學(xué)參加此次學(xué)科知識比賽，記X表示這20名同學(xué)中成績超過74分的人數(shù)，利用①的結(jié)果，求EX．附：若Z～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ-2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，即可求這50名同學(xué)成績的樣本平均數(shù)$\overline{x}$；
（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），從而P（60-14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出結(jié)論；
②設(shè)依題意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．

解答 解：（Ⅰ）由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得：
樣本平均數(shù)$\overline{x}$=$\frac{1}{50}$×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；
（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），從而P（60-14＜Z＜60+14）=0.6826，
∴P（Z＞74）=$\frac{1}{2}×$（1-0.6826）=0.1587，
②由①知，成績超過74分的概率為0.1587，依題意知X～B（20，0.1587），
∴EX=20×0.1587=3.174．

點評 本題主要考查利用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，求這50名同學(xué)成績的樣本平均數(shù)，以及正態(tài)分布的特點及概率求解，考查運算能力．