Question

過拋物線y²=8x的焦點(diǎn)作直線L交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則|AB|等于（　　）

• A、14
• B、12
• C、10
• D、8

Answer 1

分析：由題意知，過拋物線焦點(diǎn)的直線L斜率存在且不等于0，由點(diǎn)斜式設(shè)出L的直線方程，與拋物線方程組成方程組，消去未知數(shù)y，可得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系和線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出k的值，再由線段長度公式可求|AB|的大�。�

解答：解：因?yàn)閽佄锞�y²=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)過F點(diǎn)的直線L為：y=k（x-2），且k≠0；
所以，由

y=k(x-2) y2=8x

  得：k²（x-2）²=8x，即k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，
得：x₁+x₂=

4k2+8

k2

=8，x₁x₂=4；∴k²=2，∴線段AB的長為：|AB|═

1+k2

|x1-x2|
=

1+2

(x1+ x2)  2-4x1x2

=

3

×

82-4×4

=12．
故答案選：B．

點(diǎn)評：本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，可以由公式：|AB|═

1+k2

|x1-x2|求得；線段中點(diǎn)坐標(biāo)通常與根與系數(shù)的關(guān)系相聯(lián)系，從而簡化解題過程．