【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 數(shù)列{bn},{cn}滿足 (n+1)bn=an+1 ,(n+2)cn= ,其中n∈N*.
(1)若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(2)若存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)一切n∈N*,有bn≤λ≤cn , 求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

【答案】
(1)解:∵數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,∴an=a1+2(n﹣1), =a1+n﹣1.

∴(n+2)cn= ﹣(a1+n﹣1)=n+2,解得cn=1


(2)證明:由(n+1)bn=an+1

可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn,(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1

相減可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn

可得:(n+2)cn= = ﹣[an+1﹣(n+1)bn]

= +(n+1)bn= +(n+1)bn= (bn+bn1),

因此cn= (bn+bn1).∵bn≤λ≤cn,

∴λ≤cn= (bn+bn1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.

∴(n+1)λ=an+1 ,(n+2)λ= (an+1+an+2)﹣ ,

相減可得: (an+2﹣an+1)=λ,即an+2﹣an+1=2λ,(n≥2).

又2λ= =a2﹣a1,則an+1﹣an=2λ(n≥1),∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列


【解析】(1)數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,可得an=a1+2(n﹣1), =a1+n﹣1.代入(n+2)cn= 即可得出cn . (2)由(n+1)bn=an+1 ,可得:n(n+1)bn=nan+1﹣Sn , (n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2﹣Sn+1 , 相減可得:an+2﹣an+1=(n+2)bn+1﹣nbn , 代入化簡(jiǎn)可得cn= (bn+bn1).bn≤λ≤cn , λ≤cn= (bn+bn1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.進(jìn)而得出.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求數(shù)列{an},{bn} 的通項(xiàng)公式;

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