Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，又f(1)＝－.

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)； (2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；

(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值與最小值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）最大值為2，最小值為－4

【解析】

試題分析：（1）欲證函數(shù)為奇函數(shù)，需尋找關(guān)系.由題中條件可知，需要從f(x)＋f(y)＝f(x＋y)拼湊出與，令,便有,需求得,考慮到,令特殊值求；（2）同一樣的思想，這里需要拼湊出與（）不等于關(guān)系（需利用當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0）；（3）利用（1），（2）結(jié)論解（3）.

試題解析：令,可得從而.

令，可得，即，

故為奇函數(shù)． 4分

證明：設(shè)，且，則，于是.

從而.

所以為減函數(shù)． 8分

【解析】
由(2)知，所求函數(shù)的最大值為，最小值為．

,

.

于是在上的最大值為2，最小值為－4. 12分

考點(diǎn)：（1）函數(shù)奇偶性的證明（明確一般方法和過程）；（2）函數(shù)單調(diào)性證明（緊扣證明過程）；（3）求函數(shù)最值.